EPISTEME

Gnomon:
les débuts de la géométrie en Grèce

Ménon

"MÉNON: C'est cela, Socrate! Mais qu'entends-tu par cette assertion, que nous n'apprenons pas et que ce que nous appelons apprendre, c'est se ressouvenir? Peux-tu m'enseigner comment cela se fait qu'il en soit ainsi?

SOCRATE: Ménon, je te disais tout à l'heure que tu es un mauvais drôle: voilà qu'à présent tu me demandes si je suis à même de donner un "enseignement", moi qui dis qu'il n'y a pas d'enseignement, mais un ressouvenir; ton intention évidente est de me mettre sans délai dans mon langage en contradiction visible avec moi-même.

MÉNON: Non, par Zeus! ce n'est pas cela que je visais; en parlant ainsi, c'est plutôt l'usage que j'ai suivi. Mais, si tu es à même, de quelque façon, je dirai de me "montrer" qu'il en est comme tu dis, montre-le!

SOCRATE: Ce n'est pas chose aisée pourtant; mais, à cause de toi, je consens néanmoins à y mettre tout mon zèle. Eh bien! fais-moi le plaisir de faire venir quelqu'un de ta nombreuse suite, rien qu'un, celui de tes gens que tu voudras, afin que sur lui je te fasse la démonstration.

MÉNON: Parfait! Avance ici, toi!

SOCRATE: Est-ce un Grec et parle-t-il grec?

MÉNON: Oui, j'en suis parfaitement certain: il est né dans ma maison.

SOCRATE: Dès lors, fais bien attention à l'impression qu'il pourra te donner: celle de se ressouvenir ou bien celle d'apprendre de moi.

MÉNON: Eh bien! j'y ferai attention!

SOCRATE: Dis-moi, mon garçon, tu sais qu'un espace carré est fait comme ceci?

LE SERVITEUR: Oui, bien sûr!

SOCRATE: Or un espace carré n'est-il pas un espace dans lequel sont toutes égales entre elles les lignes que voici et qui sont quatre?

LE SERVITEUR: Hé oui! absolument.

SOCRATE: En cet espace, les lignes qui le traversent par son milieu ne sont-elles pas égales aussi?

LE SERVITEUR: Oui.

SOCRATE: Mais alors un espace de ce genre ne doit-il pas pouvoir être plus grand aussi bien que plus petit?

LE SERVITEUR: Hé oui! absolument.

SOCRATE: Or supposons que ce côté-ci soit long de deux pieds, celui-là de deux pieds aussi, de combien de pieds devra être l'espace entier? Procède à l'examen de la façon que voici: supposons que, par ici, la longueur du côté soit de deux pieds et, par là, d'un pied seulement; l'espace ne serait-il pas, alors, d'une fois deux pieds?

LE SERVITEUR: Oui.

SOCRATE: Or, puisque, par ici aussi, le côté est de deux pieds, est-ce que cela ne fait pas deux fois deux?

LE SERVITEUR: C'est ce que cela fait

SOCRATE: Cela fait donc un espace de deux fois deux pieds?

LE SERVITEUR: Oui.

SOCRATE: Combien est-ce, deux fois deux pieds? Fais le calcul et réponds.

LE SERVITEUR: Quatre pieds, Socrate.

"SOCRATE: Mais ne pourrait-il y avoir un autre espace qui serait le double de celui-ci, pareil à lui d'autre part, ayant, exactement comme celui-ci, toutes ses lignes égales?

LE SERVITEUR: Oui.

SOCRATE: Or de combien de pieds sera-t-il?

LE SERVITEUR: De huit pieds.

SOCRATE: Voyons un peu! Essaie de me dire quelle sera la grandeur de chacune des lignes de ce nouvel espace. Chaque ligne de celui-ci est effectivement de deux pieds; que sera, à son tour, chaque ligne de celui-là, qui est double?

LE SERVITEUR: Il est bien clair, Socrate, qu'elle sera double.

SOCRATE: Tu le vois, Ménon, de cette façon, n'est-ce pas, je ne lui enseigne rien, mais tout ce que je fais, c'est de le questionner. A cette heure, le garçon se figure savoir quelle est la ligne en partant de laquelle se construira l'espace de huit pieds: n'est-ce pas ton avis qu'il le croit?

MÈNON: Ma foi, oui!

SOCRATE: Et le sait-il?

MÈNON: Certes non!

SOCRATE: Et il se figure même que cet espace se construit en partant de la ligne double de la précédente.

MÉNON: Oui.

SOCRATE: Donne-toi donc le spectacle de son ressouvenir progressif, ce qui est la façon dont on doit se ressouvenir. Dis-moi, mon garçon, d'après toi, c'est en partant de la ligne double que se construit l'espace double? Voici de quelle sorte est l'espace dont je parle: qu'il ne soit pas long dans ce sens, court dans cet autre, mais égal dans tous les sens, exactement comme celui-ci, double cependant de lui et d'une aire de huit pieds. Eh bien! vois si c'est encore ton avis qu'il doive se construire en partant de la ligne double.

LE SERVITEUR: C'est mon avis.

SOCRATE: Or, supposé qu'à partir de ce point, nous prolongions cette ligne-ci par une ligne de même grandeur, il en résulte, n'est-ce pas, cette ligne-là, qui est le double de la première?

LE SERVITEUR: Oui.

SOCRATE: Alors, selon toi, c'est en partant de cette ligne, et quand il y en aura quatre de même grandeur, qu'existera l'espace de huit pieds?

LE SERVITEUR: Oui.

SOCRATE: Traçons donc quatre lignes égales, en partant de celle-là, ne serait-ce pas là l'espace que tu assures être un espace de huit pieds?

LE SERVITEUR: Hé! absolument.

SOCRATE: Mais est-ce que dans cet espace il n'y a pas les quatre espaces que voici, dont chacun est égal à celui que nous avons dit être de quatre pieds?

LE SERVITEUR: Oui.

SOCRATE: Mais combien fait son aire? N'est-elle pas quatre fois aussi grande?

LE SERVITEUR: Comment ne le serait-elle pas?

SOCRATE: Et l'espace qui est quatre fois aussi grand est-il un espace double?

LE SERVITEUR: Non, par Zeus!

SOCRATE: Mais, dis-moi, de combien de fois est-il plus grand?

LE SERVITEUR: Il est quatre fois plus grand.

SOCRATE: Alors, mon garçon, l'espace qui se construit en partante de la ligne double n'est pas un espace double, mais un espace quadruple.

LE SERVITEUR: Tu dis vrai!

SOCRATE: Car quatre fois quatre font seize, n'est-ce pas?

LE SERVITEUR: Oui.

"SOCRATE: Or quelle est la ligne en partant de laquelle se construit un espace de huit pieds? Ce n'est pas celle en partant de laquelle se construit un espace quadruple.

LE SERVITEUR: D'accord.

SOCRATE: Mais un espace de quatre pieds n'est-il pas celui qui se construit en partant de la ligne qui est moitié de celle-ci?

LE SERVITEUR: Oui.

SOCRATE: Eh bien! L'espace de huit pieds n est-il pas double de celui de quatre, tandis qu'il est moitié de celui de seize?

LE SERVITEUR: Oui.

SOCRATE: Ne le trouverons-nous pas en partant d'une ligne plus grande que celle qui est de cette longueur-là, mais moins grande que celle qui est de cette longueur-ci? N'est-ce pas ton avis?

LE SERVITEUR: C'est bien aussi mon avis.

SOCRATE: Parfait! réponds en effet ce qui est ton avis. En outre, dis-moi, cette ligne-ci n'était-elle pas de deux pieds et celle-là de quatre?

LE SERVITEUR: Oui.

SOCRATE: Il faut donc que la ligne de l'espace de huit pieds soit plus grande que celle-ci, qui est de deux pieds, mais plus petite que celle de quatre pieds.

LE SERVITEUR: Il le faut.

SOCRATE: Essaie donc de me dire quelle grandeur elle a d'après toi.

LE SERVITEUR: Elle a trois pieds.

SOCRATE: Or, si elle est exactement de trois pieds, alors en prélevant la moitié de celle-ci, n'obtiendrons-nous pas une ligne de trois pieds? Car ici, c'est deux pieds que nous avons, là c'est un seul, et, en partant d'ici, c'est deux pieds ici et un pied là. Et voilà construit cet espace dont tu parles.

LE SERVITEUR: Oui.

SOCRATE: Or s'il y a trois pieds dans ce sens et trois pieds dans cet autre, n'arrive-t-on pas, pour l'espace entier, à trois fois trois pieds?

LE SERVITEUR: Évidemment.

SOCRATE: Et trois fois trois pieds, combien cela fait-il de pieds?

LE SERVITEUR: Neuf pieds.

SOCRATE: Et de combien de pieds fallait-il que fût l'espace double?

LE SERVITEUR: De huit.

SOCRATE: Ce n'est donc pas non plus encore en partant de la ligne de trois pieds que se construit l'espace de huit.

LE SERVITEUR: Certes non!

SOCRATE: Eh bien! en partant de quelle ligne? Essaie de nous répondre avec exactitude. Et, si tu ne veux pas dire le nombre, fais-nous voir cependant en partant de laquelle.

LE SERVITEUR: Mais, par Zeus! pour mon compte, je n'en sais rien!

"SOCRATE: De ton côté, Ménon, ne réfléchis-tu pas jusqu'à quel point, sur la route du ressouvenir, ce garçon est déjà parvenu? que, pour commencer, il ne savait pas quelle peut bien être la ligne de l'espace de huit pieds, tout de même que maintenant encore il ne le sait pas davantage? Quoi qu'il en soit, alors il la croyait connaître et il répondait avec confiance, en homme qui sait, et il ne se jugeait pas embarrassé; tandis qu'à présent il se juge désormais embarrassé, et, tout ainsi qu'il ne sait pas, il ne croit pas non plus qu'il sait!

MÉNON: Tu dis vrai.

SOCRATE: Mais, par rapport à la chose qu'il ne savait pas, n'est-il pas à présent dans une meilleure situation?

MÉNON: C'est aussi mon avis.

SOCRATE: Or, est-ce que, en faisant qu'il soit embarrassé, en le plongeant dans la torpeur à la manière de la torpille, lui avons-nous causé quelque dommage?

MÉNON: Non, ce n'est pas mon avis!

SOCRATE: A tout le moins, avons-nous fait, semble-t-il bien, oeuvre utile par rapport à la découverte de la solution: maintenant qu'il sait qu'il ne sait pas, il aura sans doute du plaisir à chercher, tandis qu'autrefois, fût-ce devant beaucoup de monde, fût-ce en mainte occasion, il se serait, en toute aisance, imaginé bien dire sur la question de l'espace double, en déclarant que celui-ci doit avoir pour côté la ligne qui est double en longueur.

MÉNON: Vraisemblablement, c'est ce qu'il aurait fait!

SOCRATE: Or te figures-tu qu'il eût entrepris de chercher à découvrir ou à apprendre ce qu'il s'imaginait savoir et qu'il ne savait pas, auparavant d'en être venu à l'état de malaise où il se trouve après avoir jugé qu'il ne savait pas, et avant d'avoir éprouvé l'envie de savoir?

MÉNON: Non, Socrate, je ne le pense pas!

SOCRATE: Il a donc eu du profit à ressentir cette torpeur?

MÈNON: Il me le semble.

SOCRATE: Considère maintenant ce qu'en conséquence de cet embarras il va découvrir, cherchant en commun avec moi, qui ne ferai rien d'autre que de le questionner sans lui rien enseigner. Aie l'oeil sur moi, au cas où il t'arriverait de me trouver en train de lui donner un enseignement ou une explication, au lieu de le questionner sur ce qu'il pense!

"Dis-moi donc, mon garçon, n'avons-nous pas là l'espace de quatre pieds? Tu te rends compte?

LE SERVITEUR: Mais oui.

SOCRATE: Or ne pourrions-nous lui en adjoindre un second, celui-ci, qui est égal?

LE SERVITEUR: Oui.

SOCRATE: Puis un troisième, celui-ci, égal à chacun des deux autres?

LE SERVITEUR: Oui.

SOCRATE: Mais ne devrions-nous pas, en outre, combler l'espace que voici, dans le coin?

LE SERVITEUR: Hé! absolument.

SOCRATE: Or, est-ce que quatre espaces égaux ne seraient pas ainsi constitués, que voici?

LE SERVITEUR: Oui.

SOCRATE: Mais quoi? L'espace ainsi déterminé, combien de fois est-il plus grand que le premier?

LE SERVITEUR: Il est quatre fois plus grand.

SOCRATE: Or, c'est un espace double que nous avions à réaliser, ne t'en souviens-tu pas?

LE SERVITEUR: Hé! absolument.

SOCRATE: Mais n y a-t-il pas là cette ligne qui, d'un coin à l'autre coin, coupe en deux chacun de ces espaces?

LE SERVITEUR: Oui.

SOCRATE: Ne voilà-t-il donc pas quatre lignes égales, circonscrivant l'espace que voici?

LE SERVITEUR: Les voilà.

SOCRATE: Observe maintenant: quelle est la grandeur de cet espace?

LE SERVITEUR: Je ne me rends pas compte!

SOCRATE: Étant donné ces quatre espaces, est-ce que chacune des lignes n'a pas retranché une moitié à l'intérieur de chacun d'eux? Oui, n'est-ce pas?

LE SERVITEUR: Oui.

SOCRATE: Or, l'espace circonscrit, combien contient-il de telles moitiés?

LE SERVITEUR: Quatre.

SOCRATE: Et combien, l'espace que voici?

LE SERVITEUR: Deux.

SOCRATE: Or, qu'est-ce que quatre par rapport à deux?

LE SERVITEUR: C'est le double.

SOCRATE: Alors, de combien de pieds est cet espace-ci?

LE SERVITEUR: Il est de huit pieds.

SOCRATE: En partant de quelle ligne se construit-il?

LE SERVITEUR: En partant de celle-ci.

SOCRATE: N'est-ce pas à partir de celle qui va d'un coin à l'autre du carré?

LE SERVITEUR: Oui.

SOCRATE: Cette ligne, les savants l'appellent "diagonale". Par conséquent, si son nom est "diagonale", alors, serviteur de Ménon, ce serait en partant de la diagonale que se construit l'espace double.

LE SERVITEUR: Hé oui! absolument, Socrate."


© Extrait d'Éléments d'Histoire des Sciences, sous la direction de Michel Serres. Paris, Bordas, 1986.